प्रश्न- आवृत्ति बहुभुज के अर्थ को स्पष्ट करते हुए रेखाचित्र की सहायता से इसके महत्व को स्पष्ट कीजिए।

सम्बन्धित लघु उत्तरीय प्रश्न
1. आवृत्ति बहुभुज के अर्थ को स्पष्ट कीजिए।
2. आवृत्ति बहुभुज के निर्माण करते समय किन-किन महत्वपूर्ण तथ्यों को ध्यान में रखना चाहिए?
3. आवृत्ति बहुभुज को रेखाचित्र द्वारा समझाएं।
4. अध्यारोपित (Superimposed) आवृत्ति बहुभुज को समझाइए।

उत्तर -

सिम्पसन और कोफ्का (1971) के अनुसार, "बहुभुज का अर्थ उस रेखाचित्र से है जिसमें अनेक भुजाएँ होती हैं या वह रेखाचित्र जिसमें आवृत्तियों को अनेक भुजाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।'

"Frequency Polygon is a figure bounded by a number of straight lines representing the frequencies."

उदाहरण- निम्नलिखित अंक वितरण से आवृत्ति बहुभुज बनाइए।

हल -

वर्गान्तरों की आवृत्तियों को प्रदर्शित करता आवृत्ति बहुभुज

उदाहरण 2- निम्नलिखित अंक वितरण की सहायता से स्तम्भाकृति बनाइए। फिर भी उसी स्तम्भाकृति पर अध्यारोपित (Superimposed) आवृत्ति बहुभुज बनाइए।

सरलित (Smoothed) आवृत्ति बहुभुज वह बहुभुज है जो आवृत्तियों का सरलित करके बनाया जाता है। आवृत्ति बहुभुज और सरलित बहुभुज दोनों एक ही नियमों के आधार पर बनाया जाता है, अन्तर केवल इतना है कि सरलित आवृत्ति बहुभुज में आवृत्तियों को बहुभुज बनाने से पहले सरलित कर लिया जाता है। शुद्धता की दृष्टि से इन दोनों प्रकार के बहुभुजों की गणना करें तो कह सकते हैं कि आवृत्ति बहुभुज की अपेक्षा सरलित आवृत्ति बहुभुज अधिक शुद्ध (Accurate) और सममितीय (Symmetrical) होता है।

उदाहरण 3- निम्नलिखित अंक सामग्री से सरलित आवत्ति बहुभुज ( Smoothed Frequency Polygon) बनाइए।

वर्गान्तरों की आवृत्तियों को प्रदर्शित करता आवृत्ति बहुभुज

हल : सरलित आवृत्ति बहुभुज बनाने के लिए सर्वप्रथम दिये हुए अंग वितरण में एक वर्गान्तर नीचे तथा एक वर्गान्तर ऊपर बढ़ा लेते हैं। इन बढ़े हुए वर्गान्तरों की आवृत्ति शून्य मानकर लिख देते हैं। फिर दी हुई आवृत्तियों को सरलित करते हैं। जिस आवृत्ति को सरलित करना होता है उसमें एक ऊपर और एक नीचे इस प्रकार कुल तीन आवृत्तियों को जोड़कर प्राप्त योग में 3 से भाग देते हैं इसी प्रकार से अन्य आवृत्तियों को सरलित करते हैं।

वर्गान्तर 45-50 की आवृत्ति 2 है। ऊपर की आवृत्ति 4 तथा नीचे की आवृत्ति 0 है। अतः संतुलित आवृत्ति 2+4+0 = 6/3 = 2 हुई। इसी प्रकार से वर्गान्तर 50-55 की आवृत्ति 4 है। इसके ऊपर और नीचे की आवृत्ति जोड़ने पर 4+5+ 2 = 11/3 = 3.67 हुई।

आवृत्ति बहुभुज की निर्माण विधि तथा कुछ सुझाव

1. सर्वप्रथम यह जाँच की जाती है कि जिस अंक वितरण की आवृत्ति बहुभुजं बनाना है उसके वर्गान्तर किस श्रेणी के हैं। यदि यह वर्गान्तर सायोगिक श्रृंखला ( Inclusive Series) में है तो इन्हें निषेधक श्रृंखला या शुद्ध वर्गीकृत श्रृंखला (Pure classification series) में परिवर्तित कर लेते हैं। निषेधक श्रृंखला की सहायता से आवृत्ति बहुभुज बनाना अधिक सरल होता है।

2. आवृत्ति बहुभुज बनाने से पहले दिए हुए अंक वितरण के प्रारम्भ में और अन्त में एक-एक वर्गान्तर बढ़ा लेते हैं। इस बढ़े हुए वर्गान्तर की आवृत्ति शून्य मानकर लिख देते हैं। यदि ऐसा न करें तो बना हुआ आवृत्ति बहुभुज X-अक्ष को नहीं छू पाता है अर्थात बहुभुज अपूर्ण रहता है।

3. यदि वर्गान्तर शून्य से प्रारम्भ नहीं होते हैं तो Y-अक्ष पर Point of Origin के पास दो अर्धविरामों को X-अक्ष को काट देते हैं।

4. X-अक्ष पर वर्गान्तरों को प्रदर्शित करते हैं और Y-अक्ष पर आवृत्ति को प्रदर्शित करते हैं। X-अक्ष और Y-अक्ष में 4:3 रखते हैं। सर्वप्रथम X-अक्ष पर ग्राफ के स्थान को तथा वर्गान्तरों की संख्या को ध्यान में रखकर उपयुक्त पैमाना मानकर वर्गान्तरों को प्रदर्शित किया है फिर जितने खानों में वर्गान्तरों को प्रदर्शित किया है उन्हें गिनकर उनमें 3/4 का गुणा करके यह ज्ञात कर लेते हैं कि कितने खानों में आवृत्ति को प्रदर्शित करता है।

5. X-अक्ष और Y-अक्ष पर पैमाना मानकर क्रमश: वर्गान्तरों और आवृत्तियों को प्रदर्शित कर लेने के बाद दिए हुए अंक वितरण की आवृत्तियों को वर्गान्तरों के मध्य बिन्दु (Mid point) पर प्लाट करते हैं।

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